Question

某幾何體的三視圖的形狀、大小如圖所示．
（1）求該幾何體的體積；
（2）設點D、E分別在線段AC、BC上，且DE∥平面ABB₁A₁，求證：DE∥A₁B₁．

Answer 1

分析：（1）求該幾何體的體積，由三視圖可以看出，此幾何體是一個三棱柱，其高為3，底面是一個腰為2，底為2

2

的等腰三角形，由此不難求出體積
（2）由于DE∥平面ABB₁A₁，故直接用線面平行的性質定理即可得出DE∥AB，再由平行的傳遞性即可得到所證的結論．

解答：解：（1）由三視圖可以看出，此幾何體是一個三棱柱，其高為3，底面是一個腰為2，底為2

2

的等腰三角形，
∴底面三角形的高為

2

∴體積為3×

1

2

×

2

×2

2

=6
（2）證明：設點D、E分別在線段AC、BC上，且DE∥平面ABB₁A₁，
∵面ABC∩平面ABB₁DE∥A₁B₁A₁=AB
∴DE∥AB，由三棱柱的性質知AB∥B₁A₁，
∴DE∥A₁B₁

點評：本題考查由三視圖還原實物圖求幾何體的體積，解題的關鍵是正確還原實物圖及其數據，第二小問考查線線的平行，解此題的關鍵是熟練掌握線面平行的性質定理及三棱柱的性質．