Question

【題目】[選修4-1：幾何證明選講]
如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心， OA為半徑作圓．

（1）證明：直線A與⊙O相切；
（2）點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD．

Answer 1

【答案】
（1）

設(shè)圓的半徑為r，作OK⊥AB于K，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= r，

∴直線AB與⊙O相切；

（2）

點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，不妨設(shè)圓心為T，

∵OA=OB，TA=TB，

∴OT為AB的中垂線，

同理，OC=OD，TC=TD，

∴OT為CD的中垂線，

∴AB∥CD

【解析】（Ⅰ）過點(diǎn)O作OK⊥AB于點(diǎn)K．根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= r，則AB是圓O的切線．
（2）設(shè)圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結(jié)論．；
本題考查了切線的判定，考查四點(diǎn)共圓，考查學(xué)生分析解決問題的能力．解答此題時，充分利用了等腰三角形“三合一”的性質(zhì)．