Question

函數f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜

π

2

）部分圖象如圖所示．
（1）求的最小周期及解析式．
（2）設g（x）=f（x）-2cos2x，求函數g（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數的圖象，求出A，T，然后求出ω，利用f（

π

6

）=2，求出φ，即可求出函數的解析式．
（2）通過g（x）=f（x）-2cos2x，利用兩角和與差的三角函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過[0，

π

2

]求出相位的范圍，然后求出函數的最大值和最小值．

解答：解：（1）由圖可得A=2，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，所以T=π．
因為T=

2π

ω

所以ω=2．                              …（2分）
當x=

π

6

時，f（x）=2，可得 2sin(2•

π

6

+φ)=2，
因為|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．           …（4分）
所以f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)．   …（5分）
（2）g(x)=f(x)-2cos2x=2sin(2x+

π

6

)-2cos2x
=2sin2xcos

π

6

+2cos2xsin

π

6

-2cos2x
=

3

sin2x-cos2x…（8分）
=2sin(2x-

π

6

)．              …（10分）
因為x∈[0，

π

2

]，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，函數g（x）有最大值，最大值為：2     …（12分）
當2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，函數g（x）有最小值，最小值為-1．…（13分）

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，兩角和與差的三角函數應用，正弦函數的單調性，考查計算能力．