Question

已知a＞0，a≠1，設(shè)P：函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減；Q：函數(shù)y=x²+（2a-3）x+1的圖象與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．如果P與Q有且只有一個(gè)正確，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減，求出a的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=x²+（2a-3）x+1的圖象與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出a的范圍，已知P與Q有且只有一個(gè)正確，進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解；

解答：解：函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減?0＜a＜1；
函數(shù)y=x²+（2a-3）x+1的圖象與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，
即△=（2a-3）²-4≥0，解之得a≤

1

2

或a≥

5

2

．
（1）若P正確，Q不正確，
則a∈{a|0＜a＜1}∩{a|

1

2

＜a＜1或1＜a＜

5

2

}
即a∈{a|

1

2

＜a＜1}．
（2）若P不正確，Q正確，
則a∈{a|a＞1}∩{a|a≤

1

2

或a≥

5

2

}
即a∈{a|a≥

5

2

}
綜上可知，所求a的取值范圍是(

1

2

，1)∪[

5

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的思想，是一道基礎(chǔ)題；