Question

已知函數f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx，x∈[

π

2

，π]．
（1）若sinx=

3

5

，求函數f(x)的值．
（2）求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將f（x）化為f（x）=

3

sinx-cosx，由已知，求出cosx后，代入求值
（2）f（x）=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），根據正弦函數的性質求取值范圍．

解答：解：f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx=2（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-2cosx
=

3

sinx-cosx①
=2sin（x-

π

6

）②
（1）若sinx=

3

5

，x∈[

π

2

，π]，則cosx=-

1-sin2x

=-

4

5

，
代入①得f（x）=

3

×

3

5

-（-

4

5

）=

3 3 +4

5

（2）當x∈[

π

2

，π]時，x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
sin（x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，其中當x-

π

6

=

5π

6

時取得最小值

1

2

，當x-

π

6

=

π

2

時，取得最大值1
所以f（x）∈[1，2]．

點評：本題考查三角函數式的恒等變形，正弦函數的性質．屬于基礎題．