Question

已知A(8,0)、B(0,6)和△AOB的內切圓：(x-2)²+(y-2)²=4,P(x,y)是圓上一點(如圖所示)，

(1)求P點到直線l:4x+3y+11=0距離的最大值和最小值;

(2)若S=|PA|²+|PB|²+|PO|²，求S的最大值和最小值.

Answer 1

剖析：(1)設(x-2)²+(y-2)²=4的圓心為C，則C(2,2).由圓的幾何性質知過C作l的垂線交圓于Q，交直線l于R，易求最大值和最小值.

(2)利用圓的參數方程可解.

解：(1)設圓(x-2)²+(y-2)²=4的圓心C(2,2)到l的距離為d，則d==5.

    ∴圓上的點到l的距離最大值、最小值分別為d₁=d+r=5+2=7,d₂=d-r=5-2=3.

    (2)設P(2+2cosα,2+2sinα),

    ∴S=|PA|²+|PB|²+|PO|²

    =(2cosα-6)²+(2+2sinα)²+(2+2cosα)²+(2sinα-4)²+(2+2cosα)²+(2+2sinα)²

    =80-4(2cosα+sinα)=80-4sin(α+φ).

    ∵α∈［0,2π］,∴S_max=80+4,S_min=80-4.

講評：利用圓的幾何性質和圓的參數方程來求有關最值較簡單.