Question

（2013•松江區二模）已知數列{an}(n∈N*)的前n項和為S_n，數列{

Sn

n

}是首項為0，公差為

1

2

的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=

4

15

•(-2)an(n∈N*)，對任意的正整數k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為d_k，求證：數列{d_k}為等比數列；
（3）對（2）題中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）得出b_n，從而得出b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數列，求出d_k=b_2k+1-b_2k-1，利用等比數列的定義即可判斷出結論；
（3）對k分奇數、偶數討論，利用二項式定理展開，即可得出集合元素的個數．

解答：解：（1）由條件得

Sn

n

=0+(n-1)

1

2

，即Sn=

n

2

(n-1)，
∴an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)
∴b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1，b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•22k-

4

15

•22k-2=

4k

5

，
滿足

dk+1

dk

=4為常數，所以數列{d_k}為等比數列．
（3）①當k為奇數時，

dk= 4k 5 = (5-1)k 5 = 5k- C 1 k 5k-1+ C 2 k 5k-2-…+(-1)k 5 =5k-1- C 1 k 5k-2+ C 2 k 5k-3-…+ C k-1 k 50(-1)k-1- 1 5

同樣，可得dk+1=

4k+1

5

=

(5-1)k+1

5

=5k-

C

1 k+1

5k-1+

C

2 k+1

5k-2-…+

C

k k+1

50(-1)k+

1

5

，
所以，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數為(dk+1-

1

5

)-(dk+

1

5

)+1=dk+1-dk+

3

5

=

3(4k+1)

5

；
②當k為偶數時，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數為

3•(4k-1)

5

點評：熟練掌握等差數列的通項公式、等比數列的定義、二項式定理、分類討論的思想方法是解題的關鍵．