Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（

π

4

，0），將函數f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），在將所得圖象向右平移

π

2

個單位長度后得到函數g（x）的圖象．
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；
（2）是否存在x₀∈（

π

6

，

π

4

），使f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某種順序成等差數列？若存在，請確定x₀的個數；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得ω=2，φ=

π

2

，利用三角函數的圖象變換可求得g（x）=sinx；
（2）依題意，當x∈（

π

6

，

π

4

）時，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，sinx＞cos2x＞sinxcos2x，問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內是否有解．通過G′（x）＞0，可知G（x）在（

π

6

，

π

4

）內單調遞增，而G（

π

6

）＜0，G（

π

4

）＞0，從而可得答案．

解答：解：（1）∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，
∴ω=

2π

T

=2，
又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（

π

4

，0），φ∈（0，π），
故f（

π

4

）=sin（2×

π

4

+φ）=0，得φ=

π

2

，所以f（x）=cos2x．
將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移

π

2

個單位長度后得到函數g（x）=cos（x-

π

2

）的圖象，
∴g（x）=sinx．
（2）當x∈（

π

6

，

π

4

）時，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）內是否有解．
設G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）內單調遞增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的圖象連續不斷，
故可知函數G（x）在（

π

6

，

π

4

）內存在唯一零點x₀，
即存在唯一零點x₀∈（

π

6

，

π

4

）滿足題意

點評：本題考查同角三角函數基本關系，三角恒等變換，三角函數的圖象與性質，考查函數、函數的導數、函數的零點等基礎知識，考查運算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想．