Question

已知f(x)=sin(2x+

π

4

)，x∈[0，π]，當方程f（x）=a有兩個不相等的實數根x₁、x₂時，求（1）a的取值范圍；（2）求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，π]，可得-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，f（x）=a有兩個不相等的實數根x₁、x₂時，有-1＜a＜1 且 a≠

2

2

，即為a的取值范圍．
（2）當a∈（

2

2

，1）時，x₁、x₂ 關于直線x=

π

2

對稱，x₁+x₂ =π；當a∈（-1，

2

2

）時，x₁、x₂ 關于直線x=

3π

2

 對稱，x₁+x₂ =3π．

解答：解：（1）∵x∈[0，π]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤2π+

π

4

，∴-1≤sin(2x+

π

4

)≤1，
當方程f（x）=a有兩個不相等的實數根x₁、x₂時，-1＜a＜1且a≠

2

2

，
故a的取值范圍為（-1，

2

2

）∪（

2

2

，1）．
（2）當a∈（

2

2

，1）時，x₁、x₂ 關于直線x=

π

2

對稱，x₁+x₂ =π．
當a∈（-1，

2

2

）時，x₁、x₂ 關于直線x=

3π

2

 對稱，x₁+x₂ =3π，
綜上，x₁+x₂ =π，或x₁+x₂ =3π．

點評：本題考查函數與方程的綜合運用，正弦函數的值域，正弦函數的對稱性，得到a的取值范圍，是解題的難點．