Question

如圖，已知單位圓上兩點P，Q關于直線y=x對稱，且以射線OP為終邊的角的大小為x．
（1）求點P，Q的坐標；
（2）若另有兩點M（a，-a）、N（-a，a），記f(x)=

MP

•

NQ

．當點P在上半圓上運動時（含圓與x軸的交點），求函數f（x）的表達式．
（3）在（2）的條件下，若函數f（x）最大值為-1，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：P（cosx，sinx），點關于直線的對稱點的知識可得Q（sinx，cosx）．
（Ⅱ）根據題意結合向量的數量積的運算可得f（x）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，又點P在上半圓上運動（含圓與x軸的交點），所以x∈[0，π]，進而得到函數的解析式．
所以函數的表達式為：f（x）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，x∈[0，π]．
（Ⅲ）根據題意利用換元法得到：f（x）=-t²-2at-2a²+1，t∈[-1，

2

]，再根據二次函數的有關性質求出函數的最大值，然后結合題意求出答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：點P為單位圓上點，并且以射線OP為終邊的角的大小為x，
所以P（cosx，sinx），
又因為P，Q兩點關于直線y=x對稱，
所以Q（sinx，cosx）．…2
（Ⅱ）因為P（cosx，sinx），Q（sinx，cosx），M（a，-a）、N（-a，a），
所以f(x)=

MP

•

NQ

=2（cosx-a）（sinx+a）
=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，
又因為點P在上半圓上運動（含圓與x軸的交點），
所以x∈[0，π]…（6分）
所以函數的表達式為：f（x）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，x∈[0，π]．
（Ⅲ）設t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
因為x∈[0，π]，所以t∈[-1，

2

]．
所以f（x）=-t²-2at-2a²+1，t∈[-1，

2

]，
設最大值為g（a）
①當-

2

≤a≤1，g（a）=1-a²
②當a＞1，g（a）=2a-a²
③當a＜-

2

，g（a）=-1-2

2

a-2a²
綜上：g(a)=

1-a2  (- 2 ≤a≤1) 2a-a2 ，   (a＞1) -1-2 2 a-2a2  (a＜- 2 )

，
又因為g（a）=-1，
所以a=-

2

或

2

+1．

點評：本題主要考查二次函數函數定區間上求最值問題，以點關于直線的對稱點與向量的數量積等問題，此題是一道綜合性較強的題型，屬于難題．