Question

如圖，在直-棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是線段A′B′的中點，P是側棱BB′上的一點，若OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的大小（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：如圖，以O點為原點建立空間直角坐標系．求出B，D．設P（3，0，z），推出

BD

={ -

3

2

 ， 2 ， 4 }，

OP

={ 3 ， 0 ， z }．利用

BD

•

OP

=-

9

2

+4z=0.z=

9

8

．說明∠POB是OP與底面AOB所成的角，然后求出，
∴∠POB=arctan

3

8

解答：解：如圖，以O點為原點建立空間直角坐標系．
由題意，有B（3，0，0），D ( 

3

2

 ， 2 ， 4 )．
設P（3，0，z），則

BD

={ -

3

2

 ， 2 ， 4 }，

OP

={ 3 ， 0 ， z }．
∵BD⊥OP，∴

BD

•

OP

=-

9

2

+4z=0.z=

9

8

．
∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP與底面AOB所成的角.tan∠POB=

3

8

，
∴∠POB=arctan

3

8

．

點評：本題是基礎題，利用空間直角坐標系通過向量的計算，考查直線與平面所成角的求法，空間想象能力，計算能力，常考題型．