Question

若橢圓的中心為原點O，右焦點為F，右準線為l，若在l上存在點M，使線段OM的垂直平分線經過F，則橢圓離心率的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題須注意到形助數的特點，借助平面幾何知識的最值構建使問題簡單化，欲求離心率的范圍，此問題的實質為構造一個關于a，b，c的不等式關系即可．
解答：解：由于線段OM的垂直平分線經過點F，
∴FM=FO
則利用平面幾何折線段大于或等于直線段（右焦點到準線之間的距離），
∴MF≥FH（右焦點到準線之間的距離）
∴FO≥FH，
即c≥
則有 ，又1＞＞0．
則橢圓離心率的取值范圍為：．
故答案為：．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質．屬基礎題．離心率的范圍實質為一個不等式關系，如何構建這種不等關系？可以利用方程和垂直平分線性質構建． 利用題設和平面幾何知識的最值構建不等式往往使問題簡單化，回味本題的探究過程，認識解析幾何中“形助數”簡化運算的途徑．