Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線交橢圓于B、D兩點，過F₂的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P，
（Ⅰ）設P點的坐標為（x₀，y₀），證明：；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由AC⊥BD知點P在以線段為直徑的圓上，故，
所以，；
（Ⅱ）（ⅰ）當BD的斜率k存在且k≠0時，BD的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程，并化簡得，
設，
則，
；
因為AC與BC相交于點P，且AC的斜率為，
所以，，
四邊形ABCD的面積
，
當時，上式取等號；
（ⅱ）當BD的斜率k=0或斜率不存在時，四邊形ABCD的面積S=4；
綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為．