Question

在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

(Ⅰ)求四棱錐P－ABCD的體積V；

(Ⅱ)若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2． 　　在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4． 　　∴SABCD＝ 　　；3分 　　則V＝；5分 　　(Ⅱ)∵PA＝CA，F為PC的中點， 　　∴AF⊥PC；7分 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD． 　　∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， 　　∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC． 　　∵E為PD中點，F為PC中點， 　　∴EF∥CD．則EF⊥PC．11分 　　∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．12分