Question

如圖，F是拋物線y²=4x的焦點，Q是準線與x軸的交點，直線l經過點Q．
（Ⅰ）直線l與拋物線有唯一公共點，求l方程；
（Ⅱ）直線l與拋物線交于A、B兩點；（i）設FA、FB的斜率分別為k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（ii）若點R在線段AB上，且滿足，求點R的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用直線l與拋物線有唯一公共點
（1）若k≠0，令△=0得，k=±1，此時l的方程為y=x+1或y=-x-1；若k=0，方程有唯一解，此時l的方程為y=0；
（2）（ i）顯然k≠0，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則利用韋達定理及斜率公式可求k₁+k₂的值；
（ ii）設點R的坐標為（x，y）．利用，即可得到，，由此可得點R的軌跡方程．
解答：解：由題意，Q（-1，0），直線l斜率存在，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x+1），
代入拋物線方程，可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
（1）若k≠0，令△=0，得k=±1，此時l的方程為y=x+1或y=-x-1；
若k=0，方程有唯一解，此時l的方程為y=0；
（2）顯然k≠0，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
，x₁x₂=1，，（7分）
（ i）（9分）
（ ii）設點R的坐標為（x，y）
∵，∴，
∴，，（12分）
由△＞0得，-1＜k＜1，又k≠0，
∴y∈（-2，0）∪（0，2），
綜上所述，點R的軌跡方程為x=1（y∈（-2，0）∪（0，2））（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與拋物線的位置關系，注意分類討論是關鍵．