Question

如圖，△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，設(shè)BC=a。

（1）若a=，求直線PC與平面ABCD所成的角；
（2）設(shè)M為AD的中點(diǎn)，求當(dāng)a為何值時(shí)，PM⊥CM。

Answer 1

解：（1）如圖，設(shè)H是AB的中點(diǎn)，連接PH，CH

∵△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴PH⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
所以PH⊥平面ABCD，∠PCH為直線PC與平面ABCD所成的角，
在RT△PCH中，PH=，CH==，
∴∠PCH=45°
（2）由（1）PH⊥平面ABCD，
所以PH⊥CM，連接MH，如圖

當(dāng)CM⊥HM時(shí)，會(huì)有CM⊥平面PNH，
從而PM⊥CM
由于在△HNC中，，，
HC²=HB²+BC²=a²+1，
由勾股定理得出+=a2+1，
解得a²=8，
a=2。