Question

（2008•深圳二模）已知數列{a_n}滿足a₁=a，an+1=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

(n∈N*)．
（Ⅰ）試判斷數列{

an+2

2n+1

}是否為等比數列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項a_n．
（Ⅱ）如果a=1時，數列{a_n}的前n項和為S_n．試求出S_n，并證明

1

S3

+

1

S4

+…+

1

Sn

＜

1

10

（n≥3）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1+2=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

+2=

(4n+6)(an+2)

2n+1

，知

an+1+2

2n+3

=2•

(an+2)

2n+1

．令bn=

an+2

2n+1

，則b_n+1=2b_n．由此能夠求出an=

(a+2)(2n+1)

3

•2n-1-2．
（Ⅱ）當a=1時，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，則2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，再由錯位相減法和裂項求和法進行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1+2=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

+2=

(4n+6)(an+2)

2n+1

，
∴

an+1+2

2n+3

=2•

(an+2)

2n+1

．
令bn=

an+2

2n+1

，則b_n+1=2b_n．  …2分
∵b1=

a+2

3

，
∴當a=-2時，b₁=0，則b_n=0．
∵數列{0}不是等比數列．
∴當a=-2時，數列{

an+2

2n+1

}不是等比數列．…4分
當a≠-2時，b₁≠0，則數列{

an+2

2n+1

}是等比數列，且公比為2．
∴b_n=b₁•2^n-1，
即

an+2

2n+1

=

a+2

3

•2n-1．
解得an=

(a+2)(2n+1)

3

•2n-1-2．      …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a=1時，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，
S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．
令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，…①
則2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，…②
由①-②：-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•

2(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n
=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1，…9分
則S_n=T_n-2n=（2n-1）（2ⁿ-1）．             …10分
∵2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ，
∴當n≥3時，2ⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2（n+1），則2ⁿ-1≥2n+1．…12分
∴S_n≥（2n-1）（2n+1），
則

1

Sn

≤

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．…13分
因此，

1

S3

+

1

S4

+…+

1

Sn

≤

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(

1

5

-

1

2n+1

)＜

1

10

． …14分．

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意錯位相減法和裂項求和法的靈活運用．