Question

已知在（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項的系數成等差數列；
（1）求n；
（2）求展開式中的有理項．

Answer 1

分析：（1）利用前三項系數成等差數列，求出n．（2）利用二項展開式的通項公式求有理項．

解答：解：（1）（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式的通項公式為Tk+1=

C

k n

(

x

)n-k(

1

2 4 x

)k=

C

k n

(

1

2

)kx

2n-3k

4

，
所以前三項的系數分別為

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，
因為前三項的系數成等差數列；
所以

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2×

1

2

C

1 n

=

C

1 n

，解得n=1或n=8，當n=1時不合題意應舍去，故n=8．（6分）
（2）當n=8時，Tk+1=

C

k 8

(

x

)8-k(

1

2 4 x

)k=

C

k 8

(

1

2

)kx

16-3k

4

，若展開式為有理式，
則

16-3k

4

∈N，所以k應是4的倍數，故k可為0、4、8，
故所有有理項為：T1=x4，T5=

35

8

x，T9=

1

256x2

．                                     （12分）

點評：本題主要考查二項展開式的通項公式以及二項式定理的應用，要求熟練掌握二項展開式的通項公式．