Question

已知點F是雙曲線的右焦點，點C是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABC是銳角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．（1，2）
B．（1，+∞）
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用雙曲線的對稱性及銳角三角形∠ACF＜45°得到AF＜CF，求出A的坐標；求出AF，CF得到關于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．
解答：解：∵△ABC是銳角三角形
∴∠ACB為銳角
∵雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸
∴∠ACF=∠BCF＜45°
∴AF＜CF
∵F為右焦點，設其坐標為（c，0）
所以A（ ）
所以AF=，CF=a+c
∴即c²-ac-2a²＜0
解得
雙曲線的離心率的范圍是（1，2）
故選A．
點評：本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數關系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率問題就是研究三參數a，b，c的關系．