Question

已知數列{a_n}滿足

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，且a₁=0．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=n•2ⁿa_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）設c_n=

1- an+1

n

，記T_n=

n

k=1

ck，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用

1

1-an+1

-

1

1-an

=1，可得數列{

1

1-an

}是以1為首項，1為公差的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，即可求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）利用裂項法求數列的和，即可證得結論．

解答：（1）解：∵a₁=0，∴

1

1-a1

=1
∵

1

1-an+1

-

1

1-an

=1
∴數列{

1

1-an

}是以1為首項，1為公差的等差數列
∴

1

1-an

=n，∴a_n=

n-1

n

；
（2）解：b_n=n•2ⁿa_n=（n-1）•2ⁿ，
∴S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ，
∴2S_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-S_n=1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=4+（n-2）•2ⁿ⁺¹；
（3）證明：c_n=

1- an+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

n

k=1

ck=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，
∴T_n＜1．

點評：本題考查等差數列的判定，考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．