Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分別為PC、BD的中點．
（Ⅰ） 求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求證：EF⊥平面PDC．

Answer 1

【答案】分析：對于（Ⅰ），要證EF∥平面PAD，只需證明EF平行于平面PAD內的一條直線即可，而E、F分別為PC、BD的中點，所以連接AC，EF為中位線，從而得證；
對于（Ⅱ）要證明EF⊥平面PDC，由第一問的結論，EF∥PA，只需證PA⊥平面PDC即可，已知PA=PD=AD，可得PA⊥PD，只需再證明PA⊥CD，而這需要再證明CD⊥平面PAD，
由于ABCD是正方形，面PAD⊥底面ABCD，由面面垂直的性質可以證明，從而得證．
解答：證明：（Ⅰ）連接AC，則F是AC的中點，在△CPA中，EF∥PA（3分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（Ⅱ）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA（9分）
又PA=PD=AD，
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=，即PA⊥PD（12分）
而CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC（14分）
點評：本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定，而其中的轉化思想的應用值得注意，將線面平行轉化為線線平行；證明線面垂直，轉化為線線垂直，在證明線線垂直時，往往還要通過線面垂直來進行．