Question

（理） 設O為坐標原點，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當

QA

•

QB

取得最小值時，點Q的坐標為

 

．

Answer 1

分析：由已知中O為坐標原點，向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，我們可以設

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），求出向量

QA

，

QB

的坐標，代入空間向量的數量積運算公式，再根據二次函數的性質，可得到滿足條件的λ的值，進而得到點Q的坐標．

解答：解：∵

OP

=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，
設

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ）
又∵向量

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，
∴

QA

=（1-λ，2-λ，3-2λ），

QB

=（2-λ，1-λ，2-2λ）
則

QA

•

QB

=（1-λ）×（2-λ）+（2-λ）×（1-λ）+（3-2λ）×（2-2λ）=6λ²-16λ+10
易得當λ=

4

3

時，

QA

•

QB

取得最小值．
此時Q的坐標為（

4

3

，

4

3

，

8

3

）
故答案為：（

4

3

，

4

3

，

8

3

）

點評：本題考查的知識點是空間向量的數量積運算，其中根據空間向量數量積的坐標運算公式，求出

QA

•

QB

的表達式，進而將問題轉化為一個二次函數最值問題，是解答本題的關鍵．