Question

已知≤a≤1,若f(x)=ax²-2x+1在［1,3］上的最大值為M（a），最小值為N(a),設(shè)g(a)=M（a）-N(a).

______________________________.（先在橫線(xiàn)上填上一個(gè)結(jié)論，然后再解答）

Answer 1

構(gòu)建問(wèn)題：已知≤a≤1，若f(x)=ax²-2x+1在［1，3］上的最大值為M(a),最小值為N(a),設(shè)g(a)=M（a）-N(a).

判斷函數(shù)g(a)的單調(diào)性，并求出g(a)的最小值.

解析：∵f(x)=a(x-)²+1-,

∴f(x)的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn).

∵1≤≤3,x∈［1,3］,

當(dāng)x=時(shí)，f(x)有最小值N（a）=1-,f(1)=a-1,f(3)=9a-5,f(1)-f(3)=-8(a-).

當(dāng)＜a≤1時(shí)，f(1)＜f(3),

∴M(a)=9a-5.

當(dāng)≤a≤時(shí)，f(1)≥f(3),

∴M(a)=a-1.

∴g(a)=

設(shè)≤a₁≤a₂≤,則g(a₁)-g(a₂)=(a₁-a₂)(1-)＞0,

∴g(a₁)＞g(a₂).

∴g(a)在［，］上是減函數(shù).

同理，可證g(a)在（,1］上是增函數(shù).

∴當(dāng)a=時(shí)，g(a)有最小值.