Question

(13分)

已知函數。

   （I）當時，求曲線在點處的切線方程；

   （Ⅱ）當函數在區間上的最小值為時，求實數的值；

   （Ⅲ）若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

解．（I）因為，由題意    （2分）

       即過點的切線斜率為3，又點

     則過點的切線方程為：  （4分）

   （Ⅱ）由題意令得或  （5分）

       由，要使函數在區間上的最小值為，則

   （i）當時，

當時，，當時，，

所以函數在區間[0，1]上，

即：，舍去    （7分）

   （ii）當時，

當時，，則使函數在區間上單調遞減，

 

 綜上所述：                  (8分)

（Ⅲ）設

 

令得或     （9分）

（i）當時，函數單調遞增，函數與的圖象不可能有三個不同的交點

（ii）當時，隨的變化情況如下表：

				1
	+	0	一	0	+
		極大		極小

欲使與圖象有三個不同的交點，

方程，也即有三個不同的實根

，所以   （11分）

（iii）當時，隨的變化情況如下表：

		1
	+	0	一	0	+
		極大		極小

由于極大值恒成立，故此時不能有三個解

綜上所述         （13分）

 

【解析】略