Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在x軸上，且過點（1，2）。
（1）求拋物線C的方程；
（2）命題：“過橢圓的一個焦點F₁作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是”，命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線焦點F₁的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F₁，M兩點間的距離的比值。試類比上述命題，寫出一個關于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明；
（3）試推廣（2）中的命題，寫出關于拋物線的一般性命題（不必證明）。

Answer 1

解：（1）依題意，可設拋物線C的方程為：y²=2px（p>0）
∵拋物線C過點（1，2），
∴2²=2p，解得p=2
∴拋物線C的方程為：y²=4x。
（2）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F（1，0）作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A，B兩點，線段A的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是2。
證明如下： 設直線AB的方程為x=ty+1（t≠0），代入y²=4x，消去x，得y²-4ty-4=0
因為Δ=16t²+16>0，可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，
所以線段AB中點P的坐標為（2t²+1，2t），
AB的垂直平分線MP的方程為y-2t= -t（x-2t²-1），
令y=0，解得x=2t²+3，即M（2t²+3，0），
所以|FM|=2t²+2
由拋物線定義可知|AB|=x₁+x₂+2=4t²+4，
所以。
（3）過拋物線的焦點F作與對稱軸不垂直的任意直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M，則為定值，且定值是2。