Question

在直角坐標系xOy中，動點P到兩定點，的距離之和等于4，設動點P的軌跡為C，過點的直線與C交于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）設d為A、B兩點間的距離，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，由于動點P到兩定點，的距離之和等于4，有橢圓的定義知此動點的軌跡應為橢圓，有橢圓的定義即可得動點的軌跡方程；
（2）有題意，求過焦點的直線與橢圓產生的交點構成的過焦點的弦長，有焦半徑公式即可求得．
解答：解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，
點P的軌跡C是以（0，-），（0，）為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．
（2）①設過點（0，）的直線方程為y=kx+，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標滿足
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-1=0．
∴x₁+x₂=-，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=-．
∴d=|AF|+|BF|=e（）+e（）
=2a-e（y₁+y₂）=4=4+
=4-．
∵k²≥0，∴k=0時，d取得最小值1．
②當k不存在時，過點（0，）的直線方程為x=0，
此時交點A、B分別為橢圓C的長軸的兩端點，
∴d取最大值4．
綜上，d的最大值、最小值存在，分別為4、1．
點評：（1）此問重點考查了利用定義法求動點的軌跡方程，關鍵要理解好橢圓定義的條件，并準確加以判斷；
（2）此問重點考查了利用圓錐曲線的統一定義求解過焦點的弦長問題，并且還考查了解析幾何中設而不求，整體代換的思想．