Question

（遼寧卷文19）如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個值；

（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．

Answer 1

本小題主要考查空間中的線面關系和面面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力與邏輯思維能力．滿分12分．

解法一：（Ⅰ）證明：在正方體中，，，

又由已知可得，，，

所以，，所以平面．

所以平面和平面互相垂直．   4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．       8分

（Ⅲ）解：設交于點，連結，

因為平面，

所以為與平面所成的角．

因為，所以分別為

，，，的中點．

可知，．

所以．     12分

解法二：以D為原點，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間

直角坐標系D－xyz．由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標系中，可得

，

，

．

因為，所以是平面PQEF的法向量．

因為，所以是平面PQGH的法向量．

因為，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分

（Ⅱ）證明：因為，所以，又，

所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．   8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．

由為中點可知，分別為，，的中點．

所以，，因此與平面所成角的正弦值等于

． 12分