Question

已知函數f（x）定義在D=[-m，m]（m＞2）上且f（x）＞0，對于任意實數x，y，x+y∈D，都有f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1006，設函數g(x)=

f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006

f(x)+1

-

1

f(x)

的最大值和最小值分別為M和N，則M+N=

2012

．

Answer 1

分析：利用f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=1006，化簡函數，再利用奇函數的性質，即可求得結論．

解答：解：由題意，g(x)=

f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006

f(x)+1

-

1

f(x)

=g(x)=

f(2x)+1006f(x)+f(x)+1006

f(x)+1

-

1

f(x)

=

f(2x)+f(x)

f(x)+1

-

1

f(x)

+1006=f(x)-

1

f(x)

+1006
∵h（x）=f(x)-

1

f(x)

，∴h（-x）=-h（x），
∴函數h（x）是奇函數
∵函數g(x)=

f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006

f(x)+1

-

1

f(x)

的最大值和最小值分別為M和N，
∴M+N=2012
故答案為：2012．

點評：本題考查抽象函數，考查函數的化簡，考查奇函數的性質，屬于中檔題．