Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)到其漸近線的距離為.若過點(diǎn)作斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且是與的等比中項(xiàng)，則雙曲線的半焦距為__________.

Answer 1

或

解析:

設(shè)漸近線的方程為，由題設(shè)得，解得，雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為  .

設(shè)，直線的方程為，代入雙曲線方程消去，得.

當(dāng)，即時(shí)，上面的方程恰有兩實(shí)根，且.

由題設(shè)可知，，可化為，即，即，解得或.

因此，雙曲線的方程為或，即或.

所以雙曲線的半焦距為或.