Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為3，直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為

6

．
（I）求a，b；
（II）設(shè)過F₂的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF₁|=|BF₁|，證明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)，可由離心率為3得到參數(shù)a，b的關(guān)系，將雙曲線的方程用參數(shù)a表示出來，再由直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為

6

建立方程求出參數(shù)a即可得到雙曲線的方程；
（II）由（I）的方程求出兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將其與雙曲線C的方程聯(lián)立，得出x₁+x₂=

6k2

k2-8

，x1x2=

9k2+8

k2-8

，再利用|AF₁|=|BF₁|建立關(guān)于A，B坐標(biāo)的方程，得出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系x1+x2=-

2

3

，由此方程求出k的值，得出直線的方程，從而可求得：|AF₂|、|AB|、|BF₂|，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可證明出結(jié)論．

解答：解：（I）由題設(shè)知

c

a

=3，即

b2+a2

a2

=9，故b²=8a²
所以C的方程為8x²-y²=8a²
將y=2代入上式，并求得x=±

a2+ 1 2

，
由題設(shè)知，2

a2+ 1 2

=

6

，解得a²=1
所以a=1，b=2

2

（II）由（I）知，F(xiàn)₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），C的方程為8x²-y²=8    ①
由題意，可設(shè)l的方程為y=k（x-3），|k|＜2

2

代入①并化簡得（k²-8）x²-6k²x+9k²+8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁≤-1，x₂≥1，x₁+x₂=

6k2

k2-8

，x1x2=

9k2+8

k2-8

，于是
|AF₁|=

(x1+3)2+y1 2

=

(x1+3)2+8x1 2-8

=-（3x₁+1），
|BF₁|=

(x2+3)2+y2 2

=

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂+1，
|AF₁|=|BF₁|得-（3x₁+1）=3x₂+1，即x1+x2=-

2

3

故

6k2

k2-8

=-

2

3

，解得k2=

4

5

，從而x1x2=

9k2+8

k2-8

=-

19

9

由于|AF₂|=

(x1-3)2+y1 2

=

(x1+3)2+8x1 2-8

=1-3x₁，
|BF₂|=

(x2-3)2+y2 2

=

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂-1，
故|AB|=|AF₂|-|BF₂|=2-3（x₁+x₂）=4，|AF₂||BF₂|=3（x₁+x₂）-9x₁x₂-1=16
因而|AF₂||BF₂|=|AB|²，所以|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比數(shù)列

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合關(guān)系，考查了運(yùn)算能力，題設(shè)條件的轉(zhuǎn)化能力，方程的思想運(yùn)用，此類題綜合性強(qiáng)，但解答過程有其固有規(guī)律，一般需要把直線與曲線聯(lián)立利用根系關(guān)系，解答中要注意提煉此類題解答過程中的共性，給以后解答此類題提供借鑒．