Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，

（1）證明：BC1⊥面A1B1CD；
（2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接A1O．

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中

因?yàn)锳1B1⊥平面BCC1B1．

所以A1B1⊥BC1．

又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O

∴BC1⊥平面A1B1CD

（2）解：因?yàn)锽C1⊥平面A1B1CD，所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，所以∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a

在RT△A1BO中，A1B= a，BO= a，所以BO= A1B，∠BA1O=30°，

即直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°

【解析】（1）要證BC1⊥面A1B1CD；應(yīng)通過證明A1B1⊥BC1 ． BC1⊥B1C兩個(gè)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)，兩關(guān)系容易證明．（2）因?yàn)锽C1⊥平面A1B1CD，所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，所以∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．