Question

已知函數f(x)=

4ex

ex+1

（e為自然對數的底數）設方程f（x）=x的一個根為t，且a＞t，f（a）=b．
（1）求函數f（x）的導函數f′（x）；求導函數f′（x）的值域；
（2）證明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．

Answer 1

分析：（1）可求得f′（x）=

4ex

(ex+1)2

，轉化為f′（x）=

4

ex+ 1 ex +2

，利用基本不等式可求導函數f′（x）的值域；
（2）①構造函數g（x）=f（x）-x，利用g′（x）可判斷g（x）在R上是減函數，由a＞t可得，g（a）＜g（t）=0，從而可證a＞b；
②構造h（x）=f（x）+x，由h′（x）=f′（x）+1≥0可得h（x）在R上是增函數，又a＞b，h（a）＞h（b），從而可證a+f（a）＞b+f（b）．

解答：解：（1）f′（x）=

4ex

(ex+1)2

=

4

ex+ 1 ex +2

≤1，導函數f′（x）的值域（0，1]，
（2）設g（x）=f（x）-x，則g′（x）=f′（x）-1≤0，所以g（x）在R上是減函數，
∵a＞t，方程f（x）=x的一個根為t，即g（t）=0，
∴g（a）＜g（t）=0，而g（a）=f（a）-a
∴f（a）-a＜0，f（a）＜a，f（a）=b，即a＞b；
設h（x）=f（x）+x，則h′（x）=f′（x）+1≥0，
∴h（x）在R上是增函數，又a＞b，
∴h（a）＞h（b），
即a+f（a）＞b+f（b）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，著重考查基本不等式的應用，突出考查構造函數的方法，函數與方程思想，化歸思想的綜合應用，屬于難題．