Question

對于函數f（x）若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的天宮一號點，已知函數f（x）=ax²+（b-7）x+18的兩個天宮一號點分別是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表達式；
（2）當f（x）的定義域是[t，t+1]時，求函數f（x）的最大值g（t）．

Answer 1

分析：（1）依題意得f（-3）=-3，f（2）=2，聯立解得即可；
（2）對區間[t，t+1]在對稱軸x=-

1

3

左側，右側，包含對稱軸時三種情況，利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）依題意得f（-3）=-3，f（2）=2，
即

9a+21-3b+18=-3 4a+2b-14+18=2

，
解得

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-2x+18．
（2）①當區間[t，t+1]在對稱軸x=-

1

3

左側時，即t+1≤-

1

3

，也即t≤-

4

3

時，f（x）的最大值為f（t+1）=-3t²-8t+13；
②當對稱軸x=-

1

3

在[t，t+1]內時，即t≤-

1

3

＜t+1，
也即-

4

3

＜t≤-

1

3

時，f（x）的最大值為f(-

1

3

)=

55

3

；）
③當[t，t+1]在x=-

1

3

右側時，即t＞-

1

3

時，f（x）的最大值為f（t）=-3t²-2t+18，
∴g(t)=

-3t2-8t+13， t≤- 4 3 55 3 ，  - 3 4 ＜t≤- 1 3 -3t2-2t+18，  t＞- 1 3 .

點評：本題考查了二次函數的單調性、分類討論、新定義等基礎知識與基本技能，屬于難題．