Question

武漢某文具生產企業，上年度某商品生產的投入成本為3元/件，出廠價為4元/件，年銷售量為1000萬件，本年度此企業為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例為x（0＜x＜0.5），則出廠價相應提高的比例為0.625x，同時預計銷售量增加的比例為0.75x；若每件投入成本增加的比例為x（0.5≤x≤1），則出廠價相應提高的比例為0.75x，但預計銷量增加的比例為0.04x．
（1）寫出本年度該企業預計的年利潤y（萬元）與投入成本增加的比例x的關系式；
（2）為使本年度的年利潤達到最大值，則每件投入成本增加的比例x應是多少？此時最大利潤是多少？（結果精確到0.001）

Answer 1

分析：（1）根據年利潤y=銷售收入-成本，對x分類討論，分別求得生產成本，出廠價以及銷售量，從而列出函數關系，最后寫成分段函數即可得到答案；
（2）根據（1）中年利潤的解析式，分兩段分別求解函數的最值，一段運用二次函數求最值，一段運用一次函數的單調性求最值，最后兩個最值進行比較，即可得到答案．

解答：解：根據題意可知，年利潤y=銷售收入-成本，
①當0＜x＜

1

2

時，生產投入的成本為3×（1+x）元/件，出廠價為4×（1+0.625x）元/件，銷售量為1000（1+0.75x）萬件，
∴y=[4×（1+0.625x）-3×（1+x）]×1000（1+0.75x）
=125（2-x）（4+3x）
=125（-3x²+2x+8），
②當

1

2

≤x≤1時，生產投入的成本為3×（1+x）元/件，出廠價為4×（1+0.75x）元/件，銷售量為1000（1+0.04x）萬件，
∴y=[4×（1+0.75x）-3×（1+x）]×1000（1+0.04x）
=1000（1+0.04x）
=40（25+x），
綜合①②可得，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
∴本年度該企業預計的年利潤y（萬元）與投入成本增加的比例x的關系式為y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

；
（2）根據（1）可知，y=

125(-3x2+2x+8)，x∈(0， 1 2 ) 40(25+x)，x∈[ 1 2 ，1]

，
①當0＜x＜

1

2

時，y=125（-3x²+2x+8），
對稱軸為x=

1

3

∈（0，

1

2

），
∴當x=

1

3

時，y取得最大值為y_max=125×[-3×(

1

3

)2+2×

1

3

+8]=125×(

1

3

+8)≈1041.667，
②當

1

2

≤x≤1時，y=40（25+x），
∴函數y在[

1

2

，1]上是單調遞增函數，
∴當x=1時，y取得最大值為y_max=40×（25+1）=1040．
綜上所述，由于1040＜1041.667，
∴當x=

1

3

時，最大利潤為1041.667萬元，
∴為使本年度的年利潤達到最大值，則每件投入成本增加的比例x應是

1

3

，此時最大利潤是1041.667萬元．

點評：本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．本題考查的數學模型為分段函數，對于分段函數一般選用數形結合和分類討論的數學思想進行解題．屬于中檔題．