Question

一剪刀剪出一條正弦曲線．

把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上幾圈．用剪刀斜著將紙筒剪斷，再把卷著的紙展開(kāi)，你就會(huì)看到：紙的邊緣線是一條波浪形的曲線．

你知道嗎？這條曲線就是正弦曲線！請(qǐng)你來(lái)證明這一事實(shí)．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：如圖，設(shè)紙筒底面半徑為1單位長(zhǎng)，截面(橢圓面)與底面所成的二面角為(定值)，截口的中心為．

　　過(guò)作圓柱的直截面，交截口曲線于兩點(diǎn)．取其中一點(diǎn)為O，在過(guò)點(diǎn)O且與圓柱側(cè)面相切的平面內(nèi)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，使得Oy軸是圓柱的一條母線．

　　設(shè)點(diǎn)P是截口曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P在⊙所在平面內(nèi)的射影，過(guò)Q作QH⊥O，垂足為H，連結(jié)PH，則∠PHQ是截面與底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ＝．又設(shè)∠QO＝α(變量)．

　　在下圖中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，以下分別計(jì)算P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．

　　x＝O＝＝α，y＝P＝QP＝QH·tan，

　　而在Rt△QH中，QH＝sinα，所以y＝tan·sinα．

　　令A(yù)＝tan(定值)，則有y＝Asinα．

　　這就證明了截口曲線是一條正弦曲線．