Question

【題目】在四棱錐中，平面，是正三角形，，.

（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；

（2）點為線段上的一動點，設異面直線與直線所成角的大小為，當時，試確定點的位置.

Answer 1

【答案】（1）（2）的位置可以是，也可以是.

【解析】

（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角；

（2）由點為線段上的一動點，可設，，利用空間向量法表示出異面直線與直線所成的角的余弦值，從而求出的值，即可確定的位置.

解：（1）取的中點為，在平面內作，交于點.

因為是正三角形，

所以.

又因為平面，平面，

所以.

又因為，

平面，

由平面，，

所以直線平面.

如圖，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則，，，，，

，.

設平面的法向量，

所以，，

即，

取，則，

同理得平面的法向量，

設平面與平面所成的銳二面角為，

則.

又因為，

所以.

所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.

（2）由點為線段上的一動點，可設，，

所以，.

由異面直線與直線所成角的大小為，

得，

所以，解得或.

所以的位置可以是，也可以是.