Question

已知直角△OAB的直角頂點O為原點，點A、B在拋物線y²=2px（p＞0）上，原點在直線AB上的射影為點D（2，1），求拋物線的方程．

Answer 1

分析：依題意，可求得直線AB的方程，與拋物線y²=2px聯立，利用韋達定理可求得p．

解答：解：∵原點在直線AB上的射影為點D（2，1），
∴直線AB的斜率為k_AB=-2，
∴線AB的方程l_AB：y-1=-2（x-2），
整理得：2x+y-5=0…（4分）
將2x=5-y代入y²=2px（p＞0）
得y²+py-5p=0，…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程y²+py-5p=0的兩根．
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，
∴-5p+p+5=0，
∴p=

5

4

，
∴y²=

5

2

x…（12分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系與韋達定理的應用，屬于中檔題．