Question

橢圓c：（a>b>0）的離心率為，過其右焦點F與長軸垂直的弦長為1，

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左右頂點分別為A，B，點P是直線x=1上的動點，直線PA與橢圓的另一個交點為M，直線PB與橢圓的另一個交點為N，求證：直線MN經過一定點.

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析

【解析】

試題分析：

（1）由已知可得，＝１，解出a，b即可.

（2）設Ｐ（１，ｔ）,則直線，聯立直線PA方程和橢圓方程可得，同理得到，由橢圓的對稱性可知這樣的定點在軸，不妨設這個定點為Ｑ，由，求得m的存在即可.

試題解析：（1）依題意

過焦點Ｆ與長軸垂直的直線ｘ＝ｃ與橢圓

聯立解答弦長為＝１，所以橢圓的方程

（2）設Ｐ（１，ｔ），直線，聯立得：

即，可知所以，

則

 

同理得到由橢圓的對稱性可知這樣的定點在軸，

不妨設這個定點為Ｑ，又

，，

，，. 12分

考點：1.橢圓方程的性質；2.點共線的證法.