Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為和，以點為圓心，以為半徑的圓與以點為圓心，以為半徑的圓相交，且交點在橢圓上．

（）求橢圓的方程．

（）設橢圓，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于、兩點，射線交橢圓于點．

①求的值．

②求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①2②

【解析】試題分析：（1）利用橢圓定義可得，再結合離心率得到橢圓的方程；（2）（i）設P（x0，y0），|=λ，求得Q的坐標，分別代入橢圓C，E的方程，化簡整理，即可得到所求值；

（ii）設A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，運用韋達定理，三角形的面積公式，將直線y=kx+m代入橢圓C的方程，由判別式大于0，可得t的范圍，結合二次函數的最值，又△ABQ的面積為3S，即可得到所求的最大值．

試題解析：

解：（）設兩圓的一個交點為，則，，由在橢圓上可得，則，，得，則，

故橢圓方程為．

（）①橢圓為方程為，

設，則有，

在射線上，設，

代入橢圓可得，

解得，即，

．

②（理）由①可得為中點，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，

故，聯立，

可得，

則，，

，

聯立，得，

，

，

，

，

當且僅當時等號成立，

故最大值為．