Question

對于函數(shù)f（x），若f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的：“不動點”；若f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數(shù)f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

Answer 1

解：∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax²+bx+c=x無解
即△=（b-1）²-4a＜0
①當a＞0時，二次函數(shù)y=f（x）-x，即y=ax²+（b-1）x+c的圖象在x軸的上方
∴?x∈R，f（x）-x恒成立
∴?x∈R，f（x）＞x恒成立
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②當a＜0時，同理可證B=∅；
綜上，對于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），當A=∅時，B=∅；
（2）由f（x）=x，f（x）=3x+4得3x+4=x，解得x=-2
由f[f（x）]=x得3（3x+4）+4=x，解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立，如f（x）為如下對應(yīng)關(guān)系時：
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2
則有A={1}，B={1，2，3}使A≠B
分析：（1）由已知中不動點的定義，由函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）結(jié)合二次方程的根的個數(shù)與△的關(guān)系，可得結(jié)論；
（2）由已知中不動點的定義，由函數(shù)f（x）=3x+4，求出集合A和B，另可舉出反例f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2，推翻結(jié)論A=B恒成立
點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中正確理解不動點的定義是解答的關(guān)鍵，另外舉反例難度較大．