Question

已知F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點，若存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓離心率e的取值范圍是（　　）

A． 2 2 ≤e＜1

B．0＜e＜ 2 2

C． 1 2 ≤e＜1

D． 1 2 ≤e＜ 2 2

Answer 1

如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，
張角∠F₁PF₂達到最大值．由此可得：
∵存在點P為橢圓上一點，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，可得Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，其中c=

a2-b2

∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，即

c2

a2

≥

1

4

∵橢圓離心率e=

c

a

，且a＞c＞0
∴

1

2

≤e＜1
故選C