Question

選修4-5：不等式選講已知函數f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在R上恒成立．
（Ⅰ）求t的取值范圍；
（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數a，bc滿足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用絕對值三角不等式求出f（x）的最小值，再結合不等式t≤f（x）在R上恒成立即可求得t的取值范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得T=t_max=3，由柯西不等式得：（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18即可得到a+2b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，∴f（x）_min=3．…（2分）∵不等式t≤f（x）在R上恒成立，∴t≤f（x）_min=3，t的取值范圍為（-∞，3]．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得T=t_max=3，
由柯西不等式得：（a+2b+c）²≤（1²+2²+1²）（a²+b²+c²）=18，∴a+2b+c≤3

2

．…（5分）
當且僅當

a

1

=

b

2

=

c

1

即a=

2

2

，b=

2

，c=

2

2

時，a+2b+c的最大值為3

2

．…（7分）

點評：本題主要考查利用絕對值不等式的基本性質求解和證明不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．