Question

已知函數f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（I）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解關于x的不等式：f（x）≥2a²；
（Ⅲ）寫出f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用函數的奇偶性的定義直接判斷即可；
（Ⅱ）直接表示出f（x）≥2a²，然后轉化為不等式組求出解集即可．
（Ⅲ）通過對a的取值討論，直接借助函數的圖象求出f（x）的單調區間即可．

解答：解：（I）函數f （x ）的定義域是R，當a=0時，f （-x ）=-x|-x|=-x|x|=-f （x ），
∴f （x ）是奇函數．
當a≠0時，∵f （a ）=0，f （-a ）=-2a|a|，
∴f （-a ）≠f （a ）且f （-a ）≠-f （a ），
∴f （x ）既不是奇函數，也不是偶函數．
（II）∵x|x-a|≥2a²，
∴原不等式等價于

x＜a -x2+ax≥2a2

①或

x≥a x2-ax≥2a2

②
由①得

x＜a x2-ax+2a2≤0

，無解；
由②得

x≥a x2-ax-2a2≥0

，即

x≥a (x-2a)(x+a)≥0

，
（1）當a=0時，x≥0；
（2）當a＞0時，由

x≥a x≥2a或x≤-a

，得x≥2a．
（3）當a＜0時，由

x≥a x≥-a或x≤2a

，得x≥-a．
綜上，當a≥0時，f （x ）≥2a²的解集為{x|x≥2a}；當a＜0時，f （x ）≥2a²的解集為{x|x≥-a}．
（III）f （x）=x|x-a|=

x2-ax，(x≥a) -x2+ax，(x＜a)

．
（1）a=0時，如圖1，函數f （x ）在R上為單調遞增函數，（-∞，+∞）為單調遞增區間；
（2）a＞0時，如圖2，函數f （x ）的單調遞增區間為[a，+∞）和（-∞，

a

2

]，單調遞減為[

a

2

，a]；
（3）a＜0時，如圖2，函數f （x ）的單調遞增區間為[

a

2

，+∞）和（-∞，a]，單調遞減為[a，

a

2

]．

點評：本題考查函數的奇偶性，函數的圖象的作法，分類討論思想的應用，考查計算能力．