Question

已知點A（-

3

，0）和B（

3

，0），動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2．
求：
（1）點C的軌跡方程；
（2）設動點C的軌跡與直線y=x-2交于D、E兩點，求線段DE的長．

Answer 1

分析：（1）由點A（-

3

，0）和B（

3

，0），動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2．知C的軌跡是以A（-

3

，0）和B（

3

，0）為焦點的雙曲線，由此能求出C的軌跡方程．
（2）C的軌跡方程是x2-

y2

2

=1，聯立

y=x-2 x2- y2 2 =1

，得x²+4x-6=0，由此能求出線段DE的長．

解答：解：（1）∵點A（-

3

，0）和B（

3

，0），
動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2．
|AB|=2

3

＞2，
∴C的軌跡方程是以A（-

3

，0）和B（

3

，0）為焦點的雙曲線，
且a=1，c=

3

，
∴C的軌跡方程是x2-

y2

2

=1．
（2）∵C的軌跡方程是x2-

y2

2

=1，
∴聯立

y=x-2 x2- y2 2 =1

，得x²+4x-6=0，
設D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），則x₁+x₂=-4，x₁x₂=-6，
∴|DE|=

(1+1)[(-4)2-4×(-6)]

=4

5

．
故線段DE的長為4

5

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查弦長的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意雙曲線的定義和弦長公式的合理運用．