Question

動點P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上異于橢圓頂點（±a，0）的一點，F₁、F₂為橢圓的兩個焦點，動圓C與線段F₁P、F₁F₂的延長線及線段PF₂相切，則圓心C的軌跡為除去坐標軸上的點的（　　）

• A、一條直線
• B、雙曲線的右支
• C、拋物線
• D、橢圓

Answer 1

分析：畫出圓M，切點分別為E、D、G，由切線長相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，根據橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M點的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點）．

解答：解：如圖畫出圓M，切點分別為E、D、G，由切線長相等定理知
F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，
根據橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，
∴PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）
=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
∴2F₂G=2a-2c，F₂G=a-c，
即點G與點A重合，
∴點M在x軸上的射影是長軸端點A，M點的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點）；
故選A．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．