Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且（單位：cm），E為PA的中點．
（1）如圖，若主視方向與AD平行，請作出該幾何體的主視圖并求出主視圖面積；
（2）證明：DE∥平面PBC；
（3）證明：DE⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）由主視圖與俯視圖垂直必過點P，畫出主視圖，再由平面幾何知識求得其面積；
（2）設(shè)PB的中點為F，且EF=DC=

1

2

AB，得出四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF，再由線面平行的判定定理得DE∥平面PBC；
（3）由AB⊥PD，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，從而ED⊥AB，易得ED⊥PA，由線面垂直的判定定理得DE⊥平面PAB．

解答：解：（1）主視圖如下：（沒標數(shù)據(jù)不扣分）
（3分）

主視圖面積S=

1

2

×4×2=4cm2．（4分）

（2）設(shè)PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，∴EF∥AB，且EF=DC=

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2

AB，
故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF，．（7分）
ED?平面PBC，CF?平面PBC，故DE∥平面PBC．（9分）

（3）PD垂直于底面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，PD∩AD=D，AD?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．（11分）
ED?平面PAD，故ED⊥AB，．（12分）
又PD=AD，E為PA中點，故ED⊥PA；．（13分）
PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，∴DE⊥平面PAB．（14分）

點評：本題主要考查三視圖平面與空間，線與線，線與面，面與面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生靈活運用線面平行和線面垂直的判定定理的能力．