Question

已知

a

=(1，2)，

b

=(-3，2)，
（1）求

a

-2

b

的坐標；
（2）當k為何值時？k

a

+

b

與

a

-2

b

共線．
（3）設向量

a

與

b

的夾角為θ，求sin2θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算即可求得

a

-2

b

的坐標；
（2）利用共線向量k

a

+

b

與

a

-2

b

的坐標運算即可求得k的值；
（3）利用向量的數量積求得cosθ的值，繼而可求得sinθ的值，利用二倍角的正弦即可求得sin2θ的值．

解答：解：（1）

a

-2

b

=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2）…4分
（2）k

a

+

b

=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），

a

-2

b

=（1，2）-2（-3，2）=（7，-2）…6分
∵k

a

+

b

與

a

-2

b

共線，
∴7（2k+2）=-2（k-3）…7分
∴k=-

1

2

…8分
（3）∵

a

•

b

=1，|

a

|=

5

，|

b

|=

13

…9分
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

65

=

65

65

…10分
∴sinθ=

8

65

=

8 65

65

…11分
∴sin2θ=2sinθcosθ=

16

65

…12分

點評：本題考查平面向量共線的坐標表示，考查數量積表示兩個向量的夾角，考查二倍角的正弦，屬于中檔題．