Question

如圖，已知四棱錐P -ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD， ,

E，F分別是BC，PC的中點。

（I）證明：AEPD；

（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E―AF―C的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形.因為E為BC的中點，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. 因為PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE. 而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD. 所以AE⊥PD.

（Ⅱ）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，所以  當AH最短時，∠EHA最大，

即當AH⊥PD時，∠EHA最大. 此時tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.

解法一：因為   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以   平面PAC⊥平面ABCD.

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，

過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，

  

在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值為

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以E、F分別為BC、PC的中點，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以

設平面AEF的一法向量為

則     因此

取

因為BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，

故為平面AFC的一法向量.

又=（-），

所以cos＜m, ＞==

因為   二面角E-AF-C為銳角，

所以所求二面角的余弦值為