Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E為AB上的一點，將B點沿線段EC折起至點P，連接PA、PC、PD，取PD中點F，且AF∥平面PEC．

(1)確定點E的位置；

(2)若異面直線PE、CD成60°角，求證：平面PEC⊥平面AECD；

(3)在(2)的條件下求點F到平面PEC的距離．

第19題圖

Answer 1

答案：(1)設平面AEF交直線PC于M，因為AF∥平面PEC，所以AF∥EM，

又因為AE∥平面PDC，所以AE∥FM，

因為F是PD中點，所以M是PC中點，AE=FM=CD，因此E是AB的中點．

第19題圖

(2)取CE中點K，連接PK、BK，則PK=BK=a，

若∠PEB=120°，則PB=大于PK與BK之和，這不可能．

所以∠PEB=60°，∴PB=a，∴△PKB為直角三角形

∴PK⊥BK，又∵PK⊥EC，∴PK⊥平面AECD

∴平面PEC⊥平面AECD．

(3)因為點F到平面PEC的距離等于點D到平面PEC的距離的一半，易證DE⊥平面PEC，DE=a

∴點F到平面PEC的距離為．