Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=23-4n，S_n是其前n項之和，則使數列{

Sn

n

}的前n項和最大的正整數n的值為

10

．

Answer 1

分析：由題意可知數列{a_n}是以19為首項，4為公差的等差數列，可求其S_n，可得

Sn

n

=-2n+21，可得數列{

Sn

n

}前10項為正，從第11項起全為負，即得答案．

解答：解：∵數列{a_n}的通項公式為a_n=23-4n，∴a_n+1-a_n=23-4（n+1）-23+4n=-4
又a₁=19，故數列{a_n}是以19為首項，4為公差的等差數列，
故其前n項和S_n=

n(19+23-4n)

2

=-2n²+21n，∴

Sn

n

=-2n+21
同理可得可知數列{

Sn

n

}是以19為首項，-2為公差的遞減的等差數列，
令-2n+21≤0，解得n≤

21

2

，故數列{

Sn

n

}前10項為正，從第11項起全為負，
故數列{

Sn

n

}的前10項和最大，故使數列{

Sn

n

}的前n項和最大的正整數n的值為10．
故答案為：10

點評：本題為等差數列的應用，得出數列{

Sn

n

}前10項為正，從第11項起全為負，是解決問題的關鍵，屬基礎題．